坐在二十一点牌桌旁的玩家，不会把手牌当成一个抽象的数学对象来感受。他感受到的是两张翻开的牌、一张庄家的明牌，以及一连串需要做出的决定。一旦你开始追问“到底有多少种不同的手牌”，就不得不先界定什么才算“不同”。两张牌的顺序算不算不同？花色算不算不同？庄家的明牌会不会改变这手牌的性质？每一种答案都会得出一个不同的数字，而每一个数字在它自己的定义之下都是对的。
最有用的起点，是单副52张牌中两张起始手牌的原始组合数。从52张牌里选出2张、不计顺序的取法共有1326种。这个数字来自标准的组合公式：52乘以51，再除以2。如果把顺序也算进去，数量就翻倍成2652种，因为先拿一张A再拿一张10，跟先拿一张10再拿一张A被视为两种不同的情况。两个数字都没有错，它们回答的是不同的问题。
花色什么时候重要，什么时候不重要
二十一点的基本策略不关心花色。红心9和梅花9在玩家做出的每一个决定上都是同一手牌。花色唯一进入讨论的场合，是计算不同的物理组合数量，而即便在那个场合，花色也不会改变这手牌该怎么打。
如果忽略花色、只看牌面点数，不同的两张起始手牌数量会大幅缩减。一副标准牌有13个点数。从13个点数中取2张、允许成对的组合，一共产生91种不同的点数组合。这包括了从A-A到2-2的所有对子，以及从A-K到3-2的所有非对子组合。一个按照手牌类型而不是物理牌张来思考的玩家，所面对的就是这91个类别。
| 计数方式 | 什么算作不同 | 总数 |
|---|---|---|
| 有序物理牌张 | 牌的顺序算不同，花色算不同 | 2652 |
| 无序物理牌张 | 忽略牌的顺序，花色算不同 | 1326 |
| 点数组合 | 忽略花色，忽略顺序 | 91 |
| 手牌点数状态 | 只计算点数总和 | 34 |
表格最后一行里的34种点数状态需要补充说明。二十一点的总点数从4到21，其中软点数与硬点数分开计算，软点数指的是A仍然可以按11点来算的情况。软17和硬17在策略上是不同的手牌，尽管两者加起来都是17。34这个不同点数状态的数量，正是反映了这种区别。
加入庄家明牌后，数量再次改变
二十一点里的每一个决定，都是在庄家明牌可见的情况下做出的。玩家拿着一手硬16面对庄家的6，与同样拿着一手硬16面对庄家的10，是完全不同的局面。如果问题是“存在多少种不同的决策局面”，那么庄家的明牌会把数量成倍放大。
拿玩家的91种点数组合来说。庄家的明牌可以是13个点数中的任意一个，但并非每一种组合都可能出现，因为玩家手里的牌已经从牌堆中移除了某些点数。要精确计算“玩家手牌加庄家明牌”的不同局面数量，就需要把这些移除情况考虑进去。这里的关键并不是要给出一个唯一的确定数字，而是要说明，随着牌桌状态被纳入的越多，这个问题会不断扩展。
这些数字没有告诉你的事
这些数字没有一个能描述一手牌赢、输或者打平的频率。可能手牌的数量是一个组合数学上的事实。任何一手牌的期望结果取决于实际采用的规则，包括用几副牌、庄家在软17是停牌还是要牌，以及允许哪些加倍和分牌选项。公开发布的基本策略表是从这些规则推导出来的，而不是从起始手牌的原始数量推导出来的。
一个知道不计顺序的起始手牌有1326种的玩家，对游戏的结构有了一些了解。但他并没有因此知道哪些手牌该要牌、停牌、加倍或者分牌。这些决定来自于把玩家的总点数与庄家的明牌放在一起比较，并依据牌桌上公布的规则来做出。数量是基础，不是策略。
这些数字在实际中的走向
理解存在91种不同的点数组合，有助于玩家看清为什么基本策略是可以学会的。完整的决策空间并不是无限的。拿着这91种起始手牌中的任意一种，玩家面对的只是少数几种庄家明牌之一，而在特定规则下，正确的动作是固定的。游戏之所以感觉变化多端，是因为物理牌张被打乱后以极其庞大的顺序发出，但策略内容本身是有边界的。
物理牌张的数量对概率计算更为重要。一个想知道自己拿到天生二十一点——也就是一张A配一张10点牌——的频率有多高的玩家，需要用到物理牌张的数量。单副牌中，不计顺序时，拿到一张A和一张10点牌的方式共有64种，而两张手牌的总数是1326种。这个比例是一个概率，不是对某一次牌局结果的承诺。
为什么短时间的牌局看起来跟平均值完全不像
一个坐下来玩一个小时的玩家，只会看到所有可能起始手牌中极小的一部分。组合计数所描述的长期频率，不会在单个牌靴甚至单个晚上就显现出来。波动主导着短时间的牌局。一个玩家可能连续好几次拿到同一手起始牌，也可能整个晚上都拿不到一次天生二十一点，而这两种结果都不能说明任何关于底层概率的问题。
这就是可能手牌的数量与打这些手牌的体验之间的差距。数量是固定的。手牌出现的顺序是随机的。一个期待频率在短局里就趋于平均的玩家，是在期待长期提前到来，而长期不会提前到来。
玩家能控制什么
可能手牌的数量由牌堆决定。玩家对此完全无法控制。玩家能控制的是每一手牌做出的决定、游戏的速度，以及每一注相对于资金的大小。这些选择不会改变可能手牌的数量，也不会改变庄家优势，但确实会改变一笔资金能撑多久，以及总共有多少钱被置于风险之中。
每小时做出多少个决定很重要，因为每一个决定都带着同样的内置优势。在相同注码下，一个每小时打100手的玩家，置于风险中的总金额大约是一个每小时打50手的玩家的两倍。每一手的优势不变。总期望损失随着总下注额成比例增长，而总下注额又随着打的手数增长。放慢速度不会改善赔率，它只是减少了暴露在风险中的金额。
注码递进系统与手牌数量
没有任何下注递进系统能改变可能手牌的数量，或者改变附着在每一手牌上的优势。一个在输掉之后把注码翻倍的玩家，并没有改变牌堆、规则或者下一手牌的概率。他改变的是注码的大小，这改变的是结果的分布，而没有改变每单位下注额的期望值。
假设一个玩家在一手牌上下注10个单位，输了，然后按照翻倍递进的方式在下一手牌上下注20个单位。庄家优势分别作用于每一注。第一注带着的优势跟第二注一样。递进系统重新分配了赢和输相对于注码大小的落点，但长期的总期望损失是每一注各自期望损失的总和。递进系统无法移除一个内置于每一注之中的优势。
常见问题
二十一点里有多少种不同的两张起始手牌？
单副52张牌中，花色算不同、牌的顺序不算时，不计顺序的两张牌组合共有1326种。如果顺序也算不同，数量是2652种。如果忽略花色、只看点数，则有91种不同的点数组合。
牌副数量会改变存在多少种不同的手牌吗？
牌副数量会改变物理牌张的数量以及抽到特定牌的概率，但不会改变不同点数组合的数量。六副牌的牌靴里装着更多物理牌张，所以原始组合数量更大，但91种点数类别保持不变，因为点数本身并没有改变。
为什么庄家的明牌会影响手牌计数？
庄家的明牌改变了玩家面对的决定，所以同一手玩家牌配上一张庄家明牌，与配上另一张不同的明牌，是两个不同的策略局面。计算这些局面需要把玩家手牌类别乘以可能的明牌数量，再根据已经从牌堆中移除的牌做出调整。
理性游戏
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