一副二十一点的牌靴并不是一团随机谜团。它是一个已知的牌张总体，你在牌桌上做的每一个决定，本质上都是在判断这个总体里还剩下什么。二十一点里的概率论，就是把牌靴当成一个可数的集合：你知道有多少张牌，知道每个点数有多少张，因此可以把抽到某一张牌的概率描述为剩余牌数中的一个分数。
这正是二十一点与老虎机不同的地方。老虎机的一次转动由一个每次都会重置的算法生成。而二十一点的一手牌是从一个不断缩小的池子里抽出来的。当一张十点牌离开牌靴，剩余牌中十点牌的比例就变了。这个变化是算牌的全部基础，也是每一个基本策略决定的基础，无论你是否在算牌。
一个事件发生的概率，等于它可能发生的方式数除以所有等可能结果的数量。在一副全新的牌里，共有52张牌，其中16张是十点牌（四张10、四张J、四张Q、四张K）。因此下一张牌是十点牌的概率是52分之16。当一张十点牌被移走后，这个概率变成51分之15。算术很简单，但它对打牌的影响并不简单。
期望值：在你看到牌之前，一个决定值多少
概率描述的是某件事发生的频率。期望值描述的是这个频率值多少钱。在二十一点里，每一个可能的动作——要牌、停牌、加倍、分牌、在允许的地方投降——在当前牌靴状态和庄家明牌下都有一个期望值。这个值就是如果你在相同局面下做出同一个决定极多次，所得到的平均结果。
期望值不是对下一手牌的预测。它是一个加权平均。如果一个决定赢的次数比输的次数多，它的期望值相对于另一个选择就是正的。如果输的次数更多，就是负的。基本策略就是一套在既定规则下，针对每一手玩家牌面对每一张庄家明牌，产生最小负期望值——偶尔是最大正期望值——的决定集合。
庄家优势是整个游戏的期望值，以每一注的百分比表示。它存在的原因是玩家先行动。当玩家和庄家都爆牌时，玩家输。这一条规则——庄家在结算自己的手牌之前先收走爆牌玩家的赌注——是任何策略都无法消除的结构性优势。其他每一条规则，从牌副数到庄家在软17是停牌还是要牌，都会把这个优势向某个方向推移一点点。
RTP与庄家优势是同一道算术的两个名字
玩家回报率（RTP）和庄家优势互为补数。在同样的游戏、同样的规则下，两者相加等于100%。如果一款二十一点游戏在极长期内把某个百分比返还给玩家，庄家优势就是剩下的部分。这两个数字从牌桌的两侧描述同一个关系。
这个关系只有在两个数字指称同一件事时才成立。一个以降低比例支付黑杰克的游戏，其优势与按全额比例支付的游戏不同。用较少副牌进行的游戏，其优势与用较多副牌的游戏不同。遵循基本策略的玩家面对的优势，与一个每次拿12点对庄家10点都停牌的玩家不同。这些优势不能在整个娱乐场里被平均成一个有意义的单一数字。
玩家能控制的是自己面对哪一种优势。规则选择、下注选择和决定质量都会改变预期损失率。但它们都不能把一个负期望游戏变成正期望游戏。它们改变的是预期损失累积得有多慢，而不是它是否会累积。
短时段由波动主导，而不是期望值
庄家优势是一个长期平均值。一个单独的时段是一个小样本。两者之间的差距就是波动，而在二十一点里这个差距很大。一个玩家可以在面对数学劣势的情况下赢一个晚上，也可以在几乎完美打牌的情况下输一个晚上。这两种结果都不违背算术。
二十一点的波动来自结果的分布。大多数手牌返还的金额大致等于下注额，不是赢就是输。少数手牌返还更多：按标准比例支付的黑杰克、一次成功的加倍、两边都赢的分牌。还有更少数的手牌以爆牌的形式什么也不返还。所有这些结果的平均值就是期望值。围绕这个平均值的散布，就是玩家在牌桌上感受到的东西。
这就是为什么概率论在很多手牌里比在少数几手牌里更重要。一百手牌几乎可以产生任何结果。一万手牌开始接近平均值。理解这一点的玩家不会把一个赢钱的晚上当作优势不存在的证据，也不会把一个输钱的晚上当作游戏在明示规则之外被操纵的证据。两者都落在一个高波动游戏的预期范围之内。
每小时的决定次数改变总敞口
期望值是按每一注来表述的，但玩家是按每小时来体验它的。一小时内发出的手数把每手的预期损失乘成一个时段的总预期损失。一张满座的桌子每小时发的手数比一对一游戏少。一个即时发牌的在线游戏比两者都多。同一个玩家下同样的注，在每种环境下面临的每小时预期损失都不同，尽管每一手的优势没有变。
举个例子，假设一个玩家每手下一单位，面对的庄家优势折算成每手一单位的一小部分。在一张每小时只发少量手数的慢桌上，这一小时的预期损失就是那个分数乘以手数。在一张每小时发好几倍手数的快速在线桌上，同一个分数要乘以一个大得多的数字。游戏并没有变差。玩家只是买了更多的游戏量。
这是概率论在牌桌上最实际的用途。玩家无法改变自己所选下注上的优势，但可以改变每小时把一单位暴露在这个优势下的次数。放慢速度不是一种赢钱策略。它是一种减少一个时段所能磨掉的负期望总量的方法。
为什么注码法改变不了概率
注码法是一套根据先前结果改变下注额的规则。最著名的是马丁格尔：每次输后加倍下注，每次赢后回到基础注。这套逻辑听起来很合理，因为任何一次赢都能收回之前所有损失并多赚一单位。问题不在注码法的算术里，而在游戏的算术里。
二十一点里的每一手都是从当前牌靴中抽出的独立事件。下一手赢的概率不会因为前五手都输了而改变。牌靴组成会随着牌被移走而变化，这正是算牌有效的原因，但注码法完全忽略组成。它在与牌无关的情况下，输得越多下得越大。每一手的期望值仍然是负的，而在负期望的一手上加大下注，只会产生更大的预期损失。
注码法重新分配结果。它们把许多小损失变成偶尔的大赢，又把偶尔的灾难性损失变成结束整个时段的事件。许多个循环后的平均结果与平注相同，再减去过程中更大下注带来的成本。改变的是时段的形状：较长的小赢延伸被一次足以抹掉它们的大输打断。没有任何下注模式能移除一个内建的优势。它只改变损失到来的方式。
庄家的明牌告诉你什么
二十一点的概率是有条件的。庄家的明牌就是信息，每一个基本策略决定都是对这个信息的回应。庄家亮出一张小牌时更可能爆牌，因为庄家必须一直要牌直到达到一个规定点数，而小牌会导致更多抽牌。庄家亮出一张大牌时更可能以一手强牌结束。这些不是直觉，而是固定要牌规则和牌堆组成带来的结果。
玩家的决定随之改变。面对弱明牌时，玩家在较低点数就停牌，并且更积极地加倍，因为庄家的爆牌概率更高。面对强明牌时，玩家在较低点数继续要牌，并且冒更少的风险，因为庄家更可能成牌。每一个决定都是两个期望值的比较：面对这张明牌继续抽牌的期望值与停牌的期望值。
基本策略表是公开发布的参考资料，它们把针对特定规则集的这些比较编码成表格。庄家在软17停牌的游戏的策略表，与庄家在软17要牌的游戏的策略表不同。允许分牌后加倍的游戏的策略表，与不允许的不同。想要为自己所玩的游戏找到正确决定的玩家，应当查阅与牌桌或游戏信息面板上印制的规则相匹配的那张表。
算牌改变的是概率，不是游戏
算牌是概率论在二十一点上的直接应用。算牌者追踪哪些牌已经离开牌靴，并推断还剩下什么。当剩余牌靴中十点牌和A丰富时，玩家的期望值提高：黑杰克变得更频繁，加倍成功更多，庄家爆牌也更多。当剩余牌靴中小牌丰富时，情况正好相反。
算牌不改变游戏规则。它根据变化的概率分布改变下注额，偶尔改变决定。任何单手的优势仍然由规则决定。变化的是算牌者在组成有利于玩家时下得更多，在有利于庄家时下得更少。因此算牌者总下注量的期望值与平注玩家总下注量的期望值不同，尽管两人玩的是同一个游戏。
场所知道这一点。算牌在大多数地方并不违法，但在许多场所的店规下是不被允许的，被识别为算牌者的玩家可能被要求离开或被限制参与游戏。概率论告诉你算牌如何运作。它不告诉你某个场所必须让你这么做。
概率论做不到的事
概率论描述一个游戏的长期行为。它无法告诉你下一张牌是什么。它无法告诉你这一手是不是庄家爆牌的那一手。它无法把一个负期望游戏变成正期望游戏，也无法保证一个时段会以某个特定方向结束。理解这套理论的玩家确切知道自己买到的是什么：一连串独立的决定，每一个都有已知的期望值，其短期结果由波动主导，其长期结果收敛于优势。
这种理解是这个游戏提供的唯一真正保护。它不能让输钱变得不可能。它让输钱变得可以理解，并且让预期损失的大小在玩家坐下之前就看得见。
常见问题
使用基本策略能保证我赢吗？
不能。基本策略在给定规则集下把每手的预期损失降到最低，但游戏仍然带有庄家优势。你可以每一手都打得完美却仍然输掉一个时段，因为短期结果由波动驱动。基本策略改变的是预期损失的速率，不是方向。
二十一点是技巧游戏还是运气游戏？
两者都是。你拿到的牌由概率支配，没有任何决定能改变下一张牌是什么。但你用这些牌做出的决定会改变这一手的期望值。在许多手牌之后，做出正确决定的玩家比不这么做的玩家以更慢的预期速率输钱。技巧改变的是玩牌的成本，它不能消除成本。
为什么不同的二十一点牌桌有不同的赔率？
因为规则不同。牌副数、庄家在软17是停牌还是要牌、是否允许分牌后加倍、是否提供投降、黑杰克的支付比例，都会改变庄家优势。同一个场所里的两张桌子可能带有实质不同的优势。规则印在牌桌布局上或游戏信息面板里，玩家应该在坐下之前阅读。
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