轮盘标准差：一步步拆解计算过程

一个玩家带着固定的资金坐到轮盘桌旁，想知道在轮子转动之前，一场游戏的结果到底可能偏离平均值多远。标准差回答的就是这个问题。它不会告诉你是否会赢，它告诉你的是普通结果围绕期望值的分布范围有多宽，以及一笔给定的资金能提供多大的缓冲。

轮盘是学习这个计算的好地方，因为每一种下注都有已知的概率、已知的赔率和已知的单次旋转期望损失。有了这三个数字，标准差就可以通过一个公式得出，这个公式对布局上任何一种下注都同样适用。

从单次旋转的期望值入手

期望值是同一种下注重复极多次数后每次旋转的平均结果。以欧洲轮盘上的单号下注为例，获胜概率是 37 分之 1，因为轮盘有 37 个口袋，只有其中一个会赔付。获胜的单号下注按 35 比 1 赔付。因此，每单位下注的期望值为：

EV = (35 × 1/37) + (−1 × 36/37) = (35/37) − (36/37) = −1/37

也就是每下注一个单位平均损失约 0.027 个单位，这就是该种轮盘布局下这种下注的庄家优势。同样的计算用在美式轮盘上，口袋数为 38，获胜概率为 38 分之 1，每单位的期望损失为 2/38。多出来的那个口袋正是美式布局期望损失更大的全部原因。

期望值并不是玩家一个晚上实际经历的东西。单号下注在 37 次旋转中有 36 次输掉一个单位，另外一次赢 35 个单位。平均值是一个小幅亏损，但没有哪一次单独的旋转会产生这个平均值。标准差衡量的就是单次结果与这个平均值之间的距离。

单次旋转的方差公式

方差是与期望值之间平方距离的平均值。对于一个有两种可能结果的下注，计算公式为：

方差 = (赢的结果 − EV)² × P(赢) + (输的结果 − EV)² × P(输)

以欧洲轮盘上的单号下注为例，赢的结果是 +35 个单位，输的结果是 −1 个单位。EV 等于 −1/37，计算过程如下：

方差 = (35 − (−1/37))² × (1/37) + (−1 − (−1/37))² × (36/37)

第一项是 (35 + 1/37)²，约等于 1,296.7，再乘以 1/37。第二项是 (−36/37)²，即 1,296/1,369，再乘以 36/37。结果约为 34.08 个单位的平方。标准差是这个方差的平方根，约为每次旋转 5.84 个单位。

这个数字就是单次旋转围绕其期望值波动的尺度。一个单位的单号下注通常会落在距离平均值几个单位的位置，因为赔付大而且罕见。同样的计算用在等额下注上，每次旋转的标准差会小得多，因为各个结果之间的距离更近。

为什么下注类型会改变标准差

不同的轮盘下注有不同的赔付结构，这会同时改变庄家优势和单次旋转的标准差。下面的比较使用欧洲轮盘，每种下注均为一个单位。

在欧洲轮盘上，这四种下注的期望值完全相同：每下注一个单位平均损失 1/37 个单位。变化的是标准差。单号下注每次旋转的波动幅度大约是等额下注的六倍，尽管两者在长期亏损速度上完全一样。这就是波动率的实际含义：它描述的是过程的形态，而不是终点的方向。

从单次旋转扩展到整场游戏

当同一种下注重复进行时，标准差会随着独立旋转次数的平方根而扩展。如果每次旋转的标准差为 s，那么经过 n 次独立旋转后，总结果的标准差为 s × √n。

举个例子，假设一个玩家在欧洲轮盘上做了 100 次单号下注，每次一个单位。期望总结果是 100 × (−1/37)，约为 −2.7 个单位。总结果的标准差是 5.84 × √100，即 58.4 个单位。因此，这场游戏的普通结果范围远比期望损失要宽。−60 个单位或 +55 个单位的结果都完全落在期望值的一个标准差之内，尽管期望值本身只是一个小幅亏损。

同样的 100 次旋转如果做等额下注，标准差约为 0.999 × √100，即 10 个单位，而期望损失同样是约 −2.7 个单位。这两场游戏有着相同的长期期望，但短期形态完全不同。一个只按平均值做预算而忽略标准差的玩家，并没有为自己实际会经历的那场游戏做好预算。

这个公式能告诉你什么，不能告诉你什么

标准差是对离散程度的描述，不是对下一次旋转结果的预测。它让玩家能够在假设每次旋转独立且同分布的前提下，估算一场游戏的结果落在期望值附近某个区间内的频率。它无法指出哪些旋转会赢，不会给出任何能降低庄家优势的下注模式，也不会把一个负期望的游戏变成正期望的游戏。

递增下注系统正好说明了这个工具的边界。一个玩家在等额下注上每次输后加倍下注，改变的是每一注的大小，这会改变以货币计算的每次旋转标准差，并把风险集中到少数几笔大额下注上。每单位下注的期望损失不变，因为每一个单位仍然面对同样的庄家优势。递增系统所做的是重新分配结果：许多小赢变得更有可能，而少数极大的亏损也变为可能。期望值和方差的算术可以描述这种重新分配，但无法消除它。

对于想要针对特定下注和轮盘布局算出这个数字的玩家来说，计算过程始终是同样的三步。从轮盘口袋数找出获胜概率，从桌面布局找出赔付，然后套用上面的方差公式并取平方根。所需的信息都印在桌面上，或者可以在游戏的信息面板里找到，而轮盘类型决定了口袋数。

常见问题

标准差会随着我的下注金额变化吗？
会，而且是线性变化。如果一个单位下注的每次旋转标准差是 s，那么在同一结果上下注 b 个单位时，标准差就是 b × s。把赌注翻倍，以货币计算的标准差也会翻倍，而每单位下注的期望损失保持不变。

我可以用标准差来选择轮盘下注吗？
你可以用它来理解自己所承担风险的结构。两种下注可以有相同的每单位期望损失，但标准差差别很大，所以同样的资金能支撑的旋转次数也会非常不同。这个选择关乎你准备承受多大的波动，而不是改变长期的庄家优势。

为什么美式轮盘会改变计算？
因为获胜概率变了。美式轮盘上的单号下注获胜概率是 38 分之 1，而不是 37 分之 1，而赔付仍然是 35 比 1。这会同时改变期望值和方差，并且增加了每一种按同样赔率赔付的下注的每单位期望损失。

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