数一数二十一点牌靴里到底有多少种排列顺序

这个问题听起来像是一道简单的计数练习,但它背后藏着两个截然不同的难题。一个是整副牌或整只牌靴在发牌之前可以排成多少种顺序。另一个是当牌一张张落到桌面上之后,玩家究竟会面对多少种不同的局面。第一个数字大得惊人,对实战几乎毫无用处。第二个数字才是驱动基本策略、算牌和庄家优势的核心。

一副五十二张的牌可以排成五十二的阶乘种顺序,也就是五十二乘以五十一,再乘以五十,一直乘到一。写出来大约是八后面跟着六十七个零。一只六副牌的牌靴装着三百一十二张牌,产生的数字大到除了说明游戏历史上从来没有两靴牌以相同顺序发出过之外,没有任何实际用途。这个数字是真实的,但它不会告诉你一手牌该怎么打。

对玩家来说,要紧的不是牌靴里每一张牌的整体排列顺序,而是可以到达的游戏状态数量:你的手牌组合、庄家的明牌、剩余牌堆的构成,以及牌桌规则下可以做出的决策。这个数字仍然很大,但它是有限的、可以计算的,而且正是每一张公开发布的基本策略表赖以建立的基础。

排列是从哪里进入游戏的

排列指的是不同物品的排序方式。在二十一点里,物品就是牌,而其中很多牌在改变游戏局面的意义上并不彼此不同。一只六副牌的牌靴里有二十四张A、二十四张K,以此类推。把一张红心K换成另一张红心K,手牌、概率、正确决策全都不会改变。原始的阶乘计数把每一张实体牌都当作独一无二的,这正是它夸大了真正有意义的局面数量的原因。

二十一点的组合分析处理的是牌面点数的数量,而不是实体牌张。就点数合计而言,十加六和J加六、Q加六、K加六是同一手牌,因为这四种牌面都算作十点。分析者不需要知道来的是哪一张十点牌。这样一来,状态空间被大幅压缩,同时保留了每一个影响期望值的决策。

剩余牌堆的构成才是一手牌到下一手牌之间概率发生变化的原因。发牌之后,抽到十点牌的概率不再是新牌靴的概率,而是剩余十点牌的数量除以剩余牌的总数。这个条件概率就是算牌背后的引擎,而它之所以算作排列问题,仅仅在于剩余牌的顺序决定了未来哪些手牌可能出现。

这张表在比较什么

不同的计数方法回答的是不同的问题,把它们混为一谈就会搞不清楚这些数字到底意味着什么。

全排列计数只是一种数学奇观。基于牌面点数的计数和状态空间计数才是真正的工作工具。计算机为某一套规则求解二十一点游戏时,枚举的就是这些东西;公开发布的基本策略表所概括的也是这些东西。

规则集如何改变计数

二十一点并不是单一的一种游戏。不同决策状态的数量取决于牌桌允许哪些动作。是否允许在任意两张牌上加倍,还是仅限于硬九、硬十、硬十一,这由运营方或游戏提供方公布的具体游戏规则决定。有投降选项的游戏拥有无投降游戏所没有的状态。庄家软十七停牌的游戏与庄家软十七要牌的游戏不同,因为庄家可能的最终手牌发生了变化。

这就是为什么公开发布的基本策略表总是会注明它们所假设的规则集。为六副牌、庄家软十七停牌、允许迟投降而推导出的策略表,并不适用于单副牌、庄家软十七要牌、无投降的游戏。状态数量不同,某个给定状态下的正确动作也可能不同。

庄家优势并不是贴在二十一点这个游戏上的单一数字。它是在一套特定规则下跑完每一手可能的牌、在每一个状态下应用最优决策、再把结果平均之后得到的产物。规则集变了,优势就变了。排列本身不会改变优势;规则改变的是哪些决策可用,而这些决策改变的是每单位投注的期望损失。

为什么短时间牌局看起来和长期平均值完全不像

庄家优势是一个长期命题。它说的是在固定规则集和最优打法下,经过非常大量的手牌之后,玩家的期望损失是总投注额的一个很小的百分比。它完全没有告诉你一小时、一个晚上或一个周末会发生什么。

短期牌局由波动主导。一个坐下来打一百手牌的玩家,只是在状态空间里抽取了一小片样本。这一小片里牌的顺序可以产生远离期望值的大赢或大输。一个玩家可以在负期望的游戏上赢很长时间,直到平均值慢慢向优势靠拢。反过来也一样成立:即使每一手都打对了,玩家也可能持续稳定地输钱。

每小时的手数会成倍放大风险敞口。如果一张桌子每小时发六十手牌,玩家每手押一个单位,那么每小时的总敞口就是六十个单位。换一张更快的桌子,或者同时多打几个位置,同样的优势会作用在更大的总投注额上,这意味着以绝对金额计算的期望损失会增加,尽管每一手的优势没有变。优势是一个比率;总期望损失是这个比率乘以投注金额。速度不会改变比率,但它会改变算术结果累积的速度。

注码 progression 系统能做什么、不能做什么

注码递增系统之所以流行,是因为它们看起来像是重新组织了结果的顺序。一个在输钱后加倍下注的玩家,赌的是在递增耗尽资金或触到牌桌限额之前会有一手赢牌出现。这个系统改变的是下注的大小和顺序。它不会改变任何一手牌的概率、剩余牌靴的构成,也不会改变每一注上的庄家优势。

举例来说,假设某个游戏在给定规则集下长期返还投注额的百分之九十九点五。庄家优势就是每单位投注的百分之零点五。一个输后按一单位、两单位、四单位递增的系统,重新分配的是亏损落在什么时候。它可以把许多小亏损变成偶尔一次的大亏损,也可以制造频繁的小赢,中间穿插一次大输。总投注额的期望值仍然是总投注额乘以负优势。递增系统改变的是结果分布的形状,而不是它的中心位置。

牌桌限额是递增系统实际上的边界。倍增式递增增长得非常快。连续输八次之后,下一注是原始单位的二百五十六倍,前提是牌桌允许下这么多。大多数牌桌不允许。限额封住了递增空间,迫使玩家承受已经积累起来的亏损。没有任何下注顺序能消除内建的优势,因为优势附着在每一注上,与注码大小无关。

排列计数能告诉你什么、不能告诉你什么

二十一点中可能牌序的数量是一个真实的数字,而且大得惊人。它告诉你的是:这个游戏不可能被当作一个序列来记忆,没有哪一靴牌会重复出现,任何声称仅凭牌序就能知道下一张牌的说法都是假的。它不会告诉你一手牌该怎么打、优势是多少,或者某一注是不是好注。

有用的计数是组合式的。它问的是:存在多少种不同的手牌,在某一手牌发出之后剩余牌堆可能有多少种构成,以及在每个状态下哪个决策能把期望损失降到最低。这种计数是有限的、可计算的,而且依赖于规则。正因为如此,基本策略表可以印在一张小卡片上,而六副牌靴的全排列计数却无法以任何实用形式写出来。

常见问题

排列数量会随着牌副数量变化吗?
会,而且变化极其剧烈。一副牌有五十二的阶乘种可能顺序。一只六副牌的牌靴有三百一十二的阶乘种可能顺序,这是一个大到无法想象的数字。但基于牌面点数的不同局面数量并不会以同样的方式增长,因为牌靴里有很多相同点数的牌。组合状态空间会增长,但它仍然可以计算,而基本策略正是建立在这个基础之上的。

知道排列数量能帮我预测下一张牌吗?
不能。洗过的牌靴的原始顺序对玩家来说是未知的,而计算可能顺序的数量并不能揭示你面前的是哪一种顺序。算牌的原理完全不同:它追踪的是随着牌张亮出而不断变化的剩余牌靴构成,并据此调整对未来牌张概率的估计。它不会预测某一张具体的下一张牌。

为什么不同的基本策略表会互相矛盾?
因为它们是从不同的规则集推导出来的。牌副数量、庄家软十七是停牌还是要牌、分牌后是否允许加倍、是否提供投降选项,这些都会改变可到达决策状态的集合。为某一套规则计算出的策略表,在另一套规则下对同一手牌可能给出不同的动作。策略表只在它所针对的游戏规则下才是正确的。

理性游戏

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