一副牌靴里有多少种二十一点牌型

算牌型之前，得先弄清楚牌靴里到底有什么。牌靴是一种发牌装置，里面装着几副洗在一起的标准扑克牌。一副标准牌是52张，六副牌的牌靴就是312张，八副牌则是416张。副数改变会直接影响每一种牌型的总数，因为每种点数的可用张数变了。

“多少种可能”这个问题其实可以有好几种理解。它可能指不同的两张起手牌型有多少种，可能指最终成手有多少种，可能指从满靴牌里发出来的两张牌顺序有多少种，也可能指整靴牌的排列顺序有多少种。这几个数字完全不同，最后那个大到已经没法拿来当实战概念用了。

从牌靴出发，而不是从手牌出发

最清晰的算法是数不同的两张起手牌型。二十一点的起手牌由你拿到的两个点数决定，同时要看它是同花、非同花还是对子。在二十一点里，花色只影响同花与否，具体是哪种花色不会改变打法。这样算出来的数字比较可控。

点数一共13个，从A到K。起手牌可以是同点数的对子、同花非对子，或者非同花非对子。两张牌的不同点数组合数是从13个点数里可重复地取2个，结果是91。拆开来看：13个是对子，剩下78个点数组合各自又分同花和非同花两种形态。于是总数是13加78再加78，等于169种不同的起手牌型。这个数字不随牌靴副数变化，单副牌和八副牌靴产出的起手牌型都是这169种。

副数改变的是拿到每种牌型的概率，而不是牌型数量。单副牌里有4张A和4张K，A-K起手牌的概率就由这些张数算出。八副牌靴里有32张A和32张K。比例会略有偏移，因为从单副牌里抽走一张对剩余结构的影响，比从八副牌里抽走一张更大。但起手牌型的数量固定不变，始终是169。

满靴牌能发出的两张牌组合

如果把“可能”理解为从满靴牌里发出的有序两张牌序列，那这个数字会随副数增长。单副牌里，第一张可以是52张中的任意一张，第二张是剩下51张中的任意一张，于是有52乘51，等于2652个有序序列。由于两张牌的先后顺序不影响打法，无序组合数就是它的一半：1326。

六副牌靴里，第一张可以是312张中的任意一张，第二张是剩下311张中的任意一张。312乘311等于97032个有序序列，无序的两张牌组合是48516。八副牌靴则是416乘415，等于172640个有序序列，无序组合为86320。这些数字统计的是物理上不同的两张牌发法，红桃10后面跟梅花3，与黑桃10后面跟方块3，会被分别计算。

为什么整靴排列数大到离谱

最大的一种理解是整靴牌的排列方式总数，也就是把靴里每一张牌从第一张到最后一张排顺序的所有方法。单副牌是52的阶乘，写作52!，即从52一直乘到1。这个数字大约是8后面跟67个零。六副牌靴则是312!，大到在实际描述游戏时已经没有任何用处。这些算法把每张牌都当作独立个体，即使点数和花色相同也分开算，所以数字才会膨胀得这么快。

这个数字唯一的意义在于提醒我们：洗过的牌靴在排列顺序上实际上无法预测。没有人，也没有任何实用计算机能把所有牌靴顺序枚举出来。游戏的数学计算也不需要这么做。驱动基本策略的概率来自剩余牌靴的构成，而不是把每一种排列都列出来。

对实际打牌有影响的是什么

影响决策的不是可能手牌的总数，而是尚未发出的牌的构成。二十一点策略取决于剩余牌靴里高牌、低牌和A的比例。六副牌靴开局时有24张A、24张10、24张J、24张Q、24张K，以及从2到9每个点数各24张。随着牌被发出，这些比例会变化。流水计数和真数就是用来追踪这种变化的方法。

二十一点的庄家优势来自规则设计，而不是可能手牌的数量。庄家最后行动是核心优势：玩家先爆牌就立即输掉，哪怕庄家随后也爆牌。公开的基本策略表都基于具体规则集推导，包括副数、庄家软17是否要牌，以及加倍和分牌规则。改变副数会轻微改变庄家优势，因为它改变了特定序列之后抽到某些牌的概率，但它不会改变游戏结构。

庄家优势如何保持恒定

无论可能的手牌有多少种，运营方的优势都施加在每一次下注上。如果某个规则集下庄家优势是1%，那么每下注100个单位，长期期望损失就是1个单位。这个期望值不会因为牌靴是312张还是416张而改变。只有当规则改变，或者剩余牌靴的构成变化大到足以改变下一张牌的概率时，它才会变。

短时间的牌局看起来完全不像那个长期平均值。一靴牌里，玩家可能连赢几手，也可能连输几手，或者看到庄家连续拿到黑杰克。这就是波动。期望值是一个长期统计平均，不是每局都兑现的保证。一个玩家一小时内下注100个单位，不会正好输掉1个单位。他输赢的金额会围绕期望值上下浮动，而浮动幅度通常远大于优势本身。

每小时做多少决定改变的是总投注额，不是优势。如果一个玩家每手押10个单位，一小时打60手，他就把600个单位投入了行动。期望损失等于优势乘以总投注额，而不是乘以手数。打得更快不会改变任何单手的优势，但会增加总下注金额，从而提高绝对期望损失。放慢速度会减少总投注额，从而减少期望损失，但不会改变任何一手的优势。

为什么注码法不会减少牌型数量

注码法是在赢或输之后改变下注大小，输后加倍是最常见的例子。它的思路是最终赢一次就能追回之前的损失。算术本身没错：如果你把输掉的一注加倍，然后赢了，这一注确实覆盖了先前的损失还带一点小利润。问题在于下一手的概率并没有改变。加倍那一注上的庄家优势，和原始注上的完全一样。注码法重新分配了结果，把许多小结果变成少数几个大结果，但它无法消除优势。

举个例子，假设一个玩家从10个单位开始，每次输后加倍：10、20、40、80。如果第四注赢了，他追回前三注输掉的70个单位，还赚10个单位。这看起来像是有把握的回本，直到连输场次长到触及台面限额或耗尽资金。连输四次的概率很小，但不是零，而一旦发生，损失是150个单位，不是10个。整个注码过程的期望损失仍然是庄家优势乘以总投注额。这个系统改变的是结果的形状，不是它们的平均值。

牌靴里可能手牌的数量也救不了注码法。牌靴里的牌数是有限的，但玩家实际上无法知道这些牌的构成。下一手从剩余牌里发出，它的概率由那个构成决定，而不是由上一手的结果决定。

不数牌也能读懂牌局

大多数玩家不数牌，游戏也不需要数牌。组合爆炸带来的实际启示是：没有人能知道下一张牌是什么。牌靴的排列是天文数字种可能之一，玩家唯一可靠的信息是已经看到的牌的构成和游戏规则。基本策略是一套在已知规则集下最小化期望损失的决策，它不依赖对下一张牌的任何猜测。

如果你想知道某个特定副数牌靴下可能手牌的确切数量，上面的算术已经给出了方法。不同起手牌型永远是169。两张牌组合数是牌靴总张数乘以它减一，无序组合再除以二。整靴排列数是牌靴总张数的阶乘。这些数字不需要外部来源，它们直接来自标准扑克牌的定义和牌靴里的副数。

常见问题

六副牌靴比单副牌有更多起手牌型吗？
没有。不同起手牌型的数量始终是169，与副数无关：13种对子、78种同花非对子、78种非同花非对子。副数改变的是每种牌型出现的概率，而不是牌型数量。

既然起手牌型数量不变，为什么赌场还要用多副牌？
多副牌会改变特定序列之后抽到某些牌的概率，从而影响数牌的效果，并轻微改变庄家优势。牌靴还降低了洗牌频率，加快了游戏速度。不同起手牌型的数量并不是原因。

知道可能手牌的数量能帮我赢吗？
知道可能手牌的数量不会改变任何一注上的庄家优势。优势来自规则设计，下一张牌的概率由剩余牌靴的构成决定，而没有任何玩家能确切知道这个构成。理解这些组合计算有助于看清短期结果为什么波动这么大，但它不会创造出一种能赢的方法。

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