从牌靴开始算：21点概率怎么一步步推出来

牌一发出来，你这手牌赢面有多大，其实已经在被牌靴里剩下的牌决定了。你不需要模拟器，也不需要一张公开的策略表来理解这个概率。你要做的只是数清自己看得见的牌，再除以自己看不见的牌。这个除法就是整套方法的核心。本文其余的内容，都是在讲怎么老老实实地把这个除法做下去，一次决策一步。

21点里的概率是一个条件量。每一张牌离开牌靴，它都会跟着变。连续出了几张小牌之后，十点牌出现的可能性就更高；连续出了几张大牌之后，十点牌出现的可能性就更低。计算本身不算难，但很琐碎，而玩家犯的错大多来自跳过了最琐碎的那一步：先写下分母，再写下分子。

用最直白的步骤讲计数法

要算21点里任何一个概率，你需要两个数字：能产生你问的那个结果的有多少张牌，以及你还没看见的牌还剩多少张。概率就是第一个数除以第二个数。整个公式就这么多。真正考验功夫的地方在于让分母保持诚实。

一副标准牌有52张。21点游戏可以用一副或多副牌来玩，但算术方式完全一样。在任何牌发出之前，第一张牌是A的概率就是4除以牌靴里的总牌数。如果游戏用六副牌，那就是24张A除以312张牌。这个分数和4除以52是一样的，但牌一旦开始发出来，分母就变得重要了，因为每移除一张牌，比例都会跟着变。

举一个明确标注为示例的例子：假设一副牌的游戏已经打完一轮，你看到了一张A、一张7、一张10和一张4。你看到了四张牌，其中除了第一张之外没有别的A。牌靴开始时52张牌里有四张A。现在一张A已经没了，所以剩下48张没看见的牌里还有三张A。下一张牌是A的概率就是3除以48，也就是十六分之一。而在这一轮开始之前，同样的计算是52分之4，也就是十三分之一。牌的移除改变了赔率，而这个变化正是这套方法所要衡量的东西。

把一手牌的概率组合起来

抽单张牌是最简单的情形。21点里大多数问题都涉及一连串的牌，而处理序列的规则是乘法，每抽一张，分母就减一。你用第一个事件发生的概率，乘以在第一个事件已经发生的条件下第二个事件发生的概率。

假设你想知道拿到天生21点的概率：头两张牌是一张A和一张十点牌，顺序不限。在一副全新的单副牌里，第一张是A的概率是52分之4。在这个条件下，第二张是十点牌的概率是51分之16，因为标准牌里有16张价值为十的牌，而牌堆里还剩51张。把这两个分数乘起来。然后再算反过来的顺序：第一张是十点牌，概率是52分之16，接着第二张是A，概率是51分之4。两个乘积相等，它们的和就是顺序不限时拿到天生21点的概率。算术很直接，结果是一个很小的分数，不是那种你凭记忆就该相信的百分比。关键在于结构：两条路径，每条路径是一个乘积，两条路径相加，因为任意一条都能满足问题。

同样的规则能回答每个21点玩家迟早都会问的问题：如果我这手牌要牌，爆掉的概率有多大？你把会让总数超过21的牌值列出来，数一数这些牌里还有多少张没看见，再除以没看见的牌的总数。如果你拿着一手硬16对着庄家的10，会让你爆掉的牌是6、7、8、9、10和花牌。在剩下的牌靴里数出这些牌。除以剩下的牌数。这个分数就是下一张牌爆掉的概率。它不是策略表上印死的某个固定数字；它是你在牌桌上就能动手算出来的一个计数，而且每看到一张牌，它都会变。

庄家优势从哪里进入计算

你算出来的概率是期望值的原材料，而期望值正是运营方优势所在的地方。庄家优势不是额外附加到游戏里的一股独立力量。它是规则带来的算术结果：庄家最后行动，玩家爆掉立即输掉，哪怕庄家随后也爆掉，而且很多桌上天生21点的赔付低于等额赔付。这些规则每一条都会让一次下注的期望值发生一点小变化，这些变化加在一起就是优势。

RTP和庄家优势互为补数。对同一次下注、同一套规则而言，两者相加为100%。如果一次下注的庄家优势占赌注的某个分数，那么它的RTP就是剩下的部分。你可以通过列出每一个可能结果、把每个结果的概率乘以它的回报、再把所有乘积相加，来算出某个具体决策的优势。这个总和就是每单位赌注的期望回报。如果它小于1，差值就是庄家优势。

下面是一个只使用假设性输入、并明确标注的例子。假设一个简化后的下注：赢的时候按等额赔付，输的时候输掉本金，平局退还本金。假设赢的概率是0.42，输的概率是0.49，平局的概率是0.09。期望值就是0.42乘以正一，加上0.49乘以负一，再加上0.09乘以零。也就是0.42减去0.49，等于每单位赌注负0.07个单位。这个例子里的庄家优势占赌注的一个小分数，而RTP相应较高。这些数字不是真实的21点数据；它们只是对算术的演示。真实数字来自具体的规则组合以及剩余牌靴的精确构成。

什么会改变概率

21点的概率在不同牌桌之间并不是固定的。牌副数会改变分母，也会改变每张牌被移除后产生的影响。庄家的停牌规则会改变庄家爆掉的概率。分牌后是否允许加倍会改变某些手牌的期望值。庄家在软17上要牌还是停牌，会改变庄家的爆牌概率，进而改变玩家的最优决策。每一种变体都会移动算术结果，这就是为什么一张公开发布的基本策略表只适用于它当初依据的那套规则。

下面的表格比较了在不同条件下计算概率时，哪些东西会变，哪些东西保持不变。

最后一行是最让玩家困惑的地方。你从剩余牌靴里算出来的概率，对下一张牌来说是精确的。长期平均值是整个游戏本身的一种属性。两者同时成立，回答的是不同的问题。

短时段与长期平均值

你算出来的期望值是一个长期平均值。它对接下来的那一手、接下来的一个小时、或者接下来的那个周末，都给不出任何可靠的结论。原因在于波动。21点会在期望值周围产生一个很宽的时段结果分布，而且手数越少，分布就越宽。一个玩家可以在负期望值的情况下赢下一百手，也可以在每一个决策都符合算术支持的情况下输掉一百手。这两种结果都不与计算相矛盾。

每小时的手数很重要，因为预期损失会随着总投注暴露而放大。如果你每手牌下注金额固定，那么一个时段里的预期损失就是你的平均下注额、每注的庄家优势、以及你玩的手数三者的乘积。庄家优势只是一个小分数，但手数在你自己控制之下。更快的牌桌、人更多因而每小时发牌更少的牌桌、或者决定某一靴牌不参与，都会改变总暴露。它们都不会改变每手牌的庄家优势。

加注系统是最常见的试图让算术消失的尝试，而它们失败的原因，你在计算里就能直接看到。加注系统在赢或输之后改变下注的大小。它不改变任何结果的概率，也不改变每单位赌注的期望值。它只是把同一个负期望值重新分配到不同大小的下注模式上。输后翻倍的加注方式会产生很多小赢和偶尔的大输。整个序列的期望值是各次单独下注期望值的总和，而每一次单独下注仍然是负的。这个系统改变的是时段的形状，不是期望值的正负号。

怎么读一张公开的概率表

当你看到一张公开发布的21点概率表时，第一个问题不是表上的数字说了什么，而是它假设的是哪套规则。庄家某张明牌对应的爆牌概率，取决于庄家在软17上是否停牌、牌靴里有多少副牌、以及这靴牌是否发到固定的穿透深度。一张没有说明这些条件的表只是一份摘要，不是你能验证的计算。

第二个问题是这个数字到底是概率还是期望值。概率是0到1之间的一个分数，或者一个百分比。期望值是按回报加权的平均值，可以是负数。庄家优势是以赌注的某个分数来表示的期望值。这三者互相关联，但不能互相替换，一张把三者混在一起又不加标注的表，对做决策没有用处。

第三个问题是分母。从完整牌靴算出来的概率，和从某一时刻剩余牌里算出来的概率不是一回事。基于完整牌靴构建的表告诉你的是长期频率。你在牌桌上亲手做的计数告诉你的是当前频率。两者都成立，但回答的是不同的问题，把两者搞混的玩家会用错误的数字来做决策。

常见问题

21点里任意一手牌爆掉的概率是多少？
不存在单一数字。这个概率取决于你的手牌总数、庄家的明牌、牌副数，以及哪些牌已经被发出去了。你通过数出会让你这手牌爆掉的牌值、数出未见牌、再用前者除以后者来计算。结果会随着你看到的每一张牌而改变。

算牌会改变概率计算吗？
算牌是一种记账方法，追踪哪些牌值已经离开了牌靴，这会改变未来任何一次抽牌的分母和有利牌的数量。它不改变游戏本身设计上的底层概率。它改变的是玩家在某一时刻估计的精确度，因此当剩余牌构成有利时，它也改变了某些下注的期望值。

为什么我算出来的概率和我的时段结果对不上？
因为概率是一个长期频率，而一个时段只是一个小样本。一次下注的期望值说的是在极大量重复之下平均会发生什么。短时段由波动主导，两者之间的差距并不是计算出了错。它是一个负期望随机过程的正常表现。

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