二十一点里的期望值到底怎么算

一手二十一点结束，结果只有三种：赢、输或者打平。无论出现哪一种，都没法告诉你刚才那个决定本身是不是合理。一个玩家拿着16点，庄家明牌是10点，他选择要牌，结果抽到一张5，凑成21点。这一手赢了，但那个“要牌”的决定仍然是错的，只是这次碰巧撞上了好结果。期望值，通常缩写成EV，就是把决定的质量和单次结果的运气拆开来看的工具。它回答的不是“刚才发生了什么”，而是另一个问题：如果完全相同的局面，在完全相同的规则下重复几千次，平均下来会怎样。

算法本身不复杂。期望值就是把每一种可能的结果乘以它出现的概率，然后全部加起来。在二十一点里，单个决定对应的结果一般就是赢、输、打平这三种，而概率来自当时生效的具体规则：牌靴里装了几副牌、庄家软17点是要牌还是停牌、分牌后能不能加倍、有没有投降选项。这些规则里随便改一条，概率就会跟着变。这就是为什么公开发布的基本策略表，一定会标明它依据的是哪一套规则。

计算之前需要先凑齐的几项数据

要计算一个二十一点决定的期望值，需要三项输入。第一项是每种结果出现的概率。第二项是每种结果下你会赢到或者输掉多少钱。第三项是打平时退回的金额，也就是原本的赌注，不赚不赔。三项数据都拿到手，剩下的计算就是机械操作了。

普通赢局，你拿回自己的赌注，再加上等额的盈利。输局，赌注被收走。打平，退回赌注。二十一点，也就是头两张牌是一张A加一张十点牌，赔付比例和普通赢局不同，这个比例直接印在桌面上。二十一点的赔付比例是整个游戏里最要紧的数字之一，因为它改变的是你每一手牌的期望值，不只是真正拿到二十一点的那几手。

这张表用10个单位的赌注只是为了举例，换成任何金额，比例关系都一样。二十一点那一行按3比2的赔付比例来写，是因为大多数玩家遇到的是这个比例，但每张桌子的台面都会写明自己的赔付率，有些桌子赔的是另一个比例。这个差别不是表面文章：二十一点赔付比例越低，每一手牌的庄家优势就越大，因为它削减了最强起手牌的价值。

用假设数字搭一个期望值计算

假设某个规则下的某个决定，赢的概率是42%，输的概率是49%，打平的概率是9%，而且这个决定不涉及二十一点，因为牌局已经进行到中途了。再假设赌注是10个单位。期望值就是三个乘积的和：赢的概率乘以赢的金额，输的概率乘以输的金额，打平的概率乘以打平的金额。也就是0.42乘以10，加上0.49乘以负10，再加上0.09乘以0。结果是4.2减去4.9，等于负0.7个单位。平均来说，在完全相同的规则下把这个决定重复很多次，玩家每下注10个单位，平均输掉0.7个单位。

这些概率是假设出来的，也已经标明是假设。它们不是任何具体手牌的概率，因为赢、输、打平的概率取决于玩家的点数、庄家的明牌、牌靴里的副数以及整套规则。但计算方法本身，就是用来构建市面上每一张基本策略表的方法。策略表本质上是一张查询表，里面的每个决定都已经在标明的规则下算过期望值，推荐打法就是期望值最高的那个，而在一个负期望的游戏里，所谓最高通常就是负得最少。

庄家优势藏在哪里

二十一点的庄家优势不是进门时收的一笔费用，而是嵌在游戏结构里的。最大的结构性因素就是行动顺序：玩家先行动，如果玩家爆牌，赌注立刻输掉，哪怕庄家随后也爆牌。单凭这一条规则，庄家就不需要比任何人打得更好。玩家和庄家在同一手牌里都爆牌的情况出现得足够频繁，以至于庄家后行动的位置，长期下来就是一笔可观的先天优势。

第二个结构性因素是赔付表。二十一点的赔付低于这手牌应有的完整价值，就削减了玩家在最强起手组合上的回报。第三个因素是那些可选决定：加倍、分牌、投降。每个选项都有自己的期望值，用得对的玩家能降低每手牌的平均期望损失；不用或者用错的玩家，则会抬高这个损失。这些因素没有一个是藏起来的，第一张牌发出来之前，全都明明白白写在台面规则里。

庄家优势和RTP是一体两面。同一款游戏、同一套规则下，两者加起来等于100%。如果一款游戏在极长周期里把某个百分比返还给玩家，剩下的那部分就是庄家优势。两个数字都不能预测单场牌局。一个玩家可以在一款有庄家优势的游戏里赢一整个晚上，也可以在一款庄家优势相对较低的游戏里很快输钱，因为优势只有在大量手牌之后才会显现出来。

为什么短时间的牌局看起来和平均值差那么远

波动衡量的是单次结果和长期平均值之间的距离。二十一点和很多其他游戏比起来，波动算比较低的，但远没有低到零。一场几百手的牌局只是一个很小的样本，而小样本经常产生和期望值相去甚远的结果。一个玩家一小时内赢了60个单位，并没有推翻庄家优势，他只是经历了一连串落在分布有利一侧的结果。同一个玩家，用同样的策略，面对同样的规则，下一小时完全可能输掉60个单位，而且一个决定都没有变。

玩家控制不了波动，但能控制经历波动的速度。每小时打多少手，决定了总敞口的节奏。满桌每小时的发牌数比一对一单挑少。一个玩家放慢速度、中间休息、或者去人更多的桌子，同样时间内下的注就更少，因此暴露在庄家优势下的总金额也更少。每一注的优势没有变；一场牌局的总期望损失，等于每一注的优势乘以总下注次数，所以下注次数越少，总期望损失就越小，其他条件不变。

倍投系统能做什么，不能做什么

倍投系统根据上一手的结果来调整下一手的下注金额。最熟悉的版本是输一次就把赌注翻倍，理由是只要最终赢一次，就能把之前所有的亏损都追回来，还多赚一个单位。如果那次赢局真的在赌注碰到台面上限或者玩家资金耗尽之前到来，这个算术确实成立。问题在于，赢局并不保证会在那之前出现，而连续输掉几手之后，所需的赌注序列涨得非常快。

假设一个玩家从1个单位开始，每次输就翻倍。输一次之后下一注是2个单位，输两次之后是4，输三次之后是8，输四次之后是16，输五次之后是32。这六注加起来一共押了63个单位，全是为了追1个单位的利润。庄家优势会作用在这63个单位的每一注上。倍投系统没有消除优势，反而抬高了总下注金额，也就抬高了总期望损失，同时把结果集中到少数几手大注上。倍投重新分配了结果：把很多次小亏损加偶尔一次大盈利，变成很多次小盈利加偶尔一次大亏损。底层游戏的期望值没有变。

任何下注模式都改变不了一个负期望游戏里内嵌的优势。改变的只是风险的形状：每一刻有多少钱押在桌上、资金多快会被耗尽、总共有多少钱从桌面上流过。一个真正理解期望值的玩家，能看清倍投系统的本质——它只是把波动重新排列了一下，并没有改善期望。

去哪里找适用于你的数字

真实期望值计算里用到的概率，不是玩家在牌桌上临时算出来的。它们发布在基本策略表和参考书里，这些资料都会标明所依据的规则。规则就是起点：几副牌、庄家的停牌规则、加倍和分牌的许可、有没有投降选项、二十一点的赔付比例。每一条规则都印在台面上，或者可以直接问庄家，而每一条规则都会改变概率。

二十一点的赔付比例印在桌布上。最低和最高下注额印在桌边的牌子上。牌靴里装了几副牌一眼就能看到，线上游戏则写在游戏信息面板里。线上二十一点的信息面板还会标注理论返还率，通常以RTP的形式呈现，这个数字就是该游戏在该规则下的长期平均值。它不是对单场牌局的承诺，而且它假设玩家按照游戏策略模型设定的方式做决定。

想从零开始算期望值的玩家，方法就是前面描述的那套：列出所有结果，从与规则匹配的公开资料里找到概率，把每个概率乘以对应的赔付，再加总。得到的就是每个决定的平均结果。想知道某一手具体点数对庄家某张明牌的期望值，公开的策略表已经把算术做完了，表上的推荐打法就是在该规则下期望值最高的选择。

常见问题

期望值能告诉我下一手牌会怎样吗？
不能。期望值是同一个决定在同样规则下重复许多次的平均值。任何单独一手牌都可能赢、输或者打平，而单手的结果不携带任何关于那个决定质量的信息。

我能为整场二十一点牌局算期望值吗？
你可以用每一注的庄家优势乘以总下注金额，来估算一场牌局的期望损失，但实际结果会因为波动而偏离。庄家优势是长期平均值，一场几百手的牌局算不上长期。

为什么不同的二十一点桌子优势不一样？
因为规则不同。牌靴里的副数、庄家的停牌规则、二十一点的赔付比例，以及加倍、分牌、投降是否可用，都会改变每种结果的概率，进而改变每个决定的期望值和整体的庄家优势。

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