站在终端机前或捏着一张纸票犹豫要圈几个号码的人，往往最先想问的就是：基诺到底有多少种号码组合。这个问题没法用一个数字回答。组合数量由两个变量决定——你选择玩多少个号码，以及庄家从号码池里抽出多少个号码。两个变量里任何一个变了，组合数都会跟着变。
基诺是一种彩票式抽奖游戏。玩家在票面上标记一组号码，庄家从同一个号码池里抽出数量更大的一组号码，玩家根据自己标记的号码中有多少个出现在开奖结果里来获得赔付。组合问题完全落在第一步：给定一个固定大小的号码池，玩家标记特定数量的号码，能有多少种不同的标法。
因为这个答案是两个输入变量的函数，而不是一个可以背下来的固定数字，这篇文章要解释的是计算机制，让读者遇到任何基诺格式都能自己算出结果。文中不提供任何特定场所的数字，也不会凭空编造。
每一张基诺票背后的计数规则
从一个较大的号码池里选出一组号码的方式数量，就是一个二项式系数，通常写作“n 选 k”。放到基诺的语境里，n 是游戏使用的号码池大小，k 是玩家标记的号码个数。这个公式统计的是从 n 个号码的池子里能取出的所有大小为 k 的无序子集。
二项式系数的计算方式是 n 的阶乘除以（k 的阶乘乘以（n−k）的阶乘），感叹号表示阶乘，也就是从那个数一直乘到 1 的连乘积。比如 5 的阶乘等于 5×4×3×2×1，结果是 120。这个公式有意忽略号码被标记的先后顺序，因为基诺票并不关心玩家是先标了 7 再标 23，还是先标 23 再标 7。两种顺序得到的是同一个集合。
这一条规则就能回答这个问题的所有版本。如果一个基诺游戏使用 80 个号码的池子，玩家标记 10 个号码，那么可能的 10 码票数量就是“80 选 10”。如果另一个游戏使用 70 个号码的池子，数字就变成“70 选 10”。如果同一个 80 号码的游戏允许 6 码票，数字就变成“80 选 6”。机制没有变，变的只是输入值。
为什么开奖数量不改变票面组合数
一个常见的困惑是，庄家的开奖数量会不会影响玩家可能组合的数量。答案是不会。庄家从同一个号码池里抽出一组中奖号码，但玩家的票在开奖之前就已经固定了。可能票面数量只由号码池大小和标记的号码个数决定。
开奖数量改变的是概率结构：某个匹配数量出现的可能性有多大，赔付表因此如何设计。但“我能标出多少种不同的票”这个组合问题，在开奖数量介入之前就已经有答案了。想要知道可能票面数量的读者，应该把开奖数量放到一边，只看号码池和标记个数。
不过，开奖数量对另一个问题很重要：有多少种不同的开奖结果。那是第二个二项式系数，“n 选 d”，其中 d 是庄家抽出的球数。读者需要弄清楚自己要的是这两个数里的哪一个，因为这两个数字回答的是不同的问题。
一个标注为示例的演算
为了展示机制而不声称任何真实场所的格式，假设一个基诺游戏使用 80 个号码的池子，玩家标记 10 个号码。可能的 10 码票数量就是“80 选 10”。也就是 80 的阶乘除以（10 的阶乘乘以 70 的阶乘）。这个计算量很大但过程是机械的，任何科学计算器或电子表格都能算出结果。
如果同一个假设游戏开出 20 个号码，可能的开奖结果数量就是“80 选 20”。那是一个不同的、大得多的数字。票面组合数和开奖组合数是两个独立的量，把它们混为一谈是基诺组合问题里最常见的错误。
这个示例的目的不是让读者背下一个数字，而是展示答案永远是一个输入项明确的二项式系数。能识别号码池大小和标记个数的读者，就能为自己遇到的任何基诺游戏算出答案。
基诺变体之间什么会改变组合数
基诺格式在不同司法管辖区和平台上存在差异，这些差异会改变二项式系数的输入值。下面的表格列出了决定组合数的变量，以及无论格式如何都保持不变的部分。
| 变量 | 它对组合数的作用 | 读者在哪里能找到 |
|---|---|---|
| 号码池大小（n） | 同样的标记个数下，号码池越大，可能的票面越多 | 具体基诺产品的游戏规则或赔付表 |
| 标记个数（k） | 标记越多，可能的票面越多，到达一个峰值后又会变少 | 票面布局或终端选号界面 |
| 庄家开奖数量（d） | 不改变票面组合数；改变开奖结果数量 | 游戏规则或帮助页面 |
| 标记顺序 | 没有影响；组合是无序集合 | 不适用 |
中间那一行提到的峰值是二项式系数的一个性质：在固定号码池下，当 k 接近 n 的一半时组合数最大，当 k 为 1 或 n 时组合数最小。想知道给定号码池下最大可能票面数量的读者，应该看最接近号码池一半的那个标记个数。
特定游戏的权威数字在哪里
没有任何文章能给出一个适用于所有场合的基诺组合数字，因为号码池大小和允许的标记范围是由运营商或司法管辖区设定的，并印在游戏自己的文档里。权威来源是读者正在查看的那个基诺产品的规则文档或赔付表。
那份文档会写明号码池大小、玩家可标记的最少和最多号码个数，以及开奖数量。有了这三个数字，组合数就能算出来。没有这三个数字，任何数字都只是包装成事实的猜测，这篇文章不会那么做。
正在看实体票的读者应该查看票背面的印刷规则或终端的帮助页面。正在看在线基诺产品的读者应该打开游戏的规则或信息页。渠道是产品自己公开发布的规则，而不是第三方的摘要。
依赖一个组合数之前要确认什么
在使用任何基诺组合数字之前，确认三件事。第一，游戏使用的确切号码池大小。第二，你打算标记的确切号码个数，因为每换一个标记数，组合数都会变。第三，你看到的数字是票面组合数还是开奖结果数，因为这两者经常被搞混。
还要确认游戏是否允许重复号码或有序选号。标准基诺不允许：每个号码都是唯一的，顺序无关紧要。如果某个变体偏离了这一点，二项式系数就不再适用，换用另一套计数规则。产品的规则页会说明它采用的是哪种模型。
最后要记住，组合数描述的是存在多少张票，而不是任何一张票中奖的可能性有多大。概率是另一套计算，涉及开奖数量和赔付表。一个很大的组合数不会告诉读者任何关于期望回报的信息。
常见问题
基诺组合有一个固定的数字吗？
没有。组合数取决于号码池大小和标记的号码个数。一个使用 80 个号码池和 10 码票的游戏，与同一个游戏使用 6 码票时的组合数不同，与使用 70 个号码池的游戏又不同。答案永远是一个以这两个输入为变量的二项式系数。
开奖的球数会改变我能标记的票面数量吗？
不会。开奖数量影响的是可能的开奖结果数量，以及匹配特定数量号码的概率，但它不会改变玩家能标记出多少种不同的票。票面组合数只由号码池大小和标记个数决定。
我怎么找到某个具体基诺游戏的组合数？
打开游戏公开发布的规则或赔付表，记下号码池大小、你想要的标记个数和开奖数量。票面组合数计算“号码池选标记个数”，开奖结果数计算“号码池选开奖数量”。任何科学计算器或电子表格都能算出这些值。
理性游戏
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本文是关于这些机制如何运作的一般性说明,不构成法律建议,也不是对任何运营方的推荐。