如何计算天生黑杰克的概率

一副牌刚洗完，前两张牌翻出来就是一张A配一张十点牌，这种情况在二十一点里叫“天生黑杰克”。它不是一个泛指，不是“这手牌赢了”或者“凑到二十一点”，而是非常具体的一个事件：头两张牌恰好是一张A和一张十点牌，中间没有要牌、没有分牌、没有任何决策。你要算的概率，其实是在问牌堆最顶上那两张牌的组合方式。

这个计算有两个活动部件。第一是牌堆的构成：有多少张A可用，有多少张牌按十点计算。第二是两张牌出现的先后顺序，因为先A后十点和先十点后A，是同一个天生黑杰克。算术要做对，就得把两种顺序都数进去，再除以所有可能的两张牌起手组合总数。

为什么前两张牌就是问题的全部

天生黑杰克不是随便一手赢牌。它特指头两张牌被发成一张A和一张十点牌，中间没有要牌、没有分牌、也没有任何决策。你要计算的概率，因此是一个关于牌堆顶部的问题：从一副牌或一个牌靴里出来的头两张牌，有多大机会正好组成那一对。

计算里有两个会动的部分。第一个是牌堆的构成：有多少张A，有多少张牌按十点计算。第二个是牌到达的顺序，因为先A后十点，和先十点后A，是同一个天生黑杰克。算术要做对，意味着两种顺序都要数，然后除以所有可能的两张牌起手牌总数。

哪些牌算十点牌

在二十一点里，四个点数都按十点计算：十本身、J、Q、K。天生黑杰克要求这四种点数之一和一张A配对。花色不重要，只看点数。这个细节对算术影响很大，因为它意味着符合条件的牌池比新手可能以为的要大得多。

一副标准牌有52张。其中4张是A。16张是十点牌，因为四种十点点数在每种花色里各出现一次。牌堆里其余所有牌，从2到9，就这个计算而言都是落空。因此，天生黑杰克的概率取决于A和十点牌占剩余总牌数的比例。

一步一步建立概率

最干净的计算方式是把前两张牌看成一个序列，然后乘条件概率。假设第一张牌是A。这件事发生的概率是A的数量除以牌堆里的牌数。单副牌就是52张里的4张。那张A拿走之后，牌堆还剩51张，其中16张是十点牌。所以第二张牌是十点牌的概率是51张里的16张。

把这两个分数相乘，得到先抽到A、第二张抽到十点牌的概率。但天生黑杰克也可以按相反顺序出现：先十点牌，再A。第一张是十点牌的概率是52张里的16张。那张牌被移走之后，第二张是A的概率是51张里的4张。这个乘积和第一个完全一样，因为乘法不在乎因子的先后顺序。把两个乘积相加，就得到从一副刚洗好的单副牌里拿到天生黑杰克的总概率。

为什么副数会改变答案

大多数二十一点游戏从一个装有多副牌的牌靴里发牌，而副数会改变第一张牌被抽出后剩余牌的结构。以六副牌靴为例，开始时有312张牌：24张A和96张十点牌。第一张牌的概率和单副牌一样，因为比例没有变。差异出现在第二张牌的概率上，因为从312张的牌靴里移走一张牌，对分母的改变小于从52张的牌堆里移走一张牌。

实际后果是，多副牌靴里天生黑杰克的概率比单副牌略低。差距很小，但确实存在，这也是为什么特定牌桌公布的基本策略表和赔率表里会出现副数。台面或游戏信息板上的牌桌规则会写明副数，你为某一场具体游戏做算术时，就该用那个数字。

副数与天生黑杰克概率之间的关系，是两种规则设置之间的比较，所以放在表格里比放在段落里更合适。

这个概率能告诉你什么，不能告诉你什么

天生黑杰克的概率是一个长期频率。它描述的是在大量独立起手牌中，从刚洗好的牌靴里这件事发生的频率。它不预测下一手、接下来十手或下一场会怎样。一个玩家可以连续拿到两个天生黑杰克，也可以一百手里一个都没有，这两种结果都不与计算出的概率相矛盾。

这和返还率与庄家优势的区分是一样的。那些数字是互补的：在同样的规则设置下，对同一个注额，它们加起来是100%。天生黑杰克的概率是游戏整体返还的一个输入项，因为天生黑杰克通常以高于普通赢牌的赔率支付，在公布该赔率的牌桌上常见的是3比2。但事件发生的概率和附加在它上面的赔率是两回事。概率是牌堆构成的性质；赔率是牌桌规则的性质。

天生黑杰克如何嵌入更大的游戏

天生黑杰克的意义不止于眼前的赔率。除非庄家也有天生黑杰克，否则它会立即结束这一手，而且是游戏里排名最高的起手牌。二十一点的目标是手牌总点数比庄家更接近21且不超过21，而天生黑杰克是唯一正好达到21的两张牌组合。其他所有通往21的路线都至少需要再抽一张牌。

这个概率计算对任何比较规则设置的人也很重要。一张以较低赔率支付天生黑杰克的牌桌，或者一个副数更多的牌靴，会改变游戏上的预期亏损率，即使游戏机制完全相同。那些差异不是赢钱的方法；它们是内置优势的变化，而这个优势在每一注上都留在庄家那边。玩家关于要牌、停牌、加倍和分牌的决策，是在这个优势之上运作的，但并不会把它移除。

你那张牌桌的数字在哪里

如果你想要某个具体游戏的概率，而不是一般配置的概率，你需要三块信息，这些信息都张贴在牌桌上或可以在牌桌上获取。第一是牌靴里的副数，印在台面或牌靴本身。第二是游戏是否以3比2或其他赔率支付天生黑杰克，这印在台面上。第三是是否有任何规则变体，例如连续洗牌机或特定的切牌点，改变了你被发牌时的牌堆构成。

上面的算术给你方法。牌桌给你输入项。没有一个单一的概率数字适用于所有二十一点游戏，因为副数和赔率表是按场所、按牌桌设定的。你能可靠计算的是，在明确规定的牌堆配置和明确规定的规则下，天生黑杰克的概率，这就是上面逐步方法所产生的东西。

常见问题

算牌会改变天生黑杰克的概率吗？
算牌会随着牌靴被消耗而改变条件概率，因为A和十点牌占剩余牌数的比例会移动。计算结构是一样的：数一数剩下的A和十点牌，数一数剩余总牌数，再把两种顺序的条件概率相乘。A和十点牌丰富的牌靴，会让下一手出现天生黑杰克的概率更高；A和十点牌稀少的牌靴，概率更低。

如果概率是固定的，为什么天生黑杰克的赔率很重要？
拿到天生黑杰克的概率由牌堆构成固定，但这个事件对玩家的价值由赔率规则设定。以3比2支付的天生黑杰克，每次出现时返还的金额高于以较低赔率支付的情况，所以两个概率相同的游戏，预期返还可能不同。概率和赔率是输入游戏整体庄家优势的两个独立项。

庄家和玩家拿到天生黑杰克的概率一样吗？
头两张牌被发成一张A和一张十点牌的概率，对庄家和玩家是一样的，因为双方都从同一个牌靴、同样的构成中抽牌。不同的是后果：玩家的天生黑杰克通常立即按公布的赔率支付，而庄家的天生黑杰克只是结束这一手并收走玩家的注额，除非玩家也有一个。事件同样可能发生；赔率结构并不对称。

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