10月7日上午，OpenAI把一个尚未发布的内部模型产出的 722 篇数学手稿一次性上传至 GitHub，并将其整理为 372 个「成果族」，覆盖数论、几何、理论计算机、数学物理等 17 个方向。MarsBit刊发的这篇文章没有再展开发布经过、模型背景和争议，而是直接进入仓库清单，梳理其中最受关注的一批结果。
文章先给出三点说明。其一，这 722 篇手稿被归入 372 个成果族，本文按学科方向挑出名气最大、历史最久的一批问题。其二，清单里既有「证明」也有「证伪」，按文中粗略检索，摘要里出现「证伪」「反例」字样的成果族约有 50 个，一些流传半个多世纪的猜想并非被证明，而是被推翻。其三，也是文中强调最多的一点，下文所有「证明了」「解决了」都只是 OpenAI 自己的表述，绝大多数结果尚未经过同行评审；约六成成果族附有 Lean 形式化，也就是由计算机逐行检查过的证明，未形式化的结果目前只能算「声称」。
数论：准黎曼猜想、BSD 与希尔伯特第十问题进入清单
在这份仓库里，数论被文章称为最惊人的部分之一。31 个成果族中，有多项直接对应数学史上最著名的问题。
仓库第 003 号是准黎曼猜想。文章介绍，黎曼在 1859 年提出 zeta 函数的非平凡零点全部落在一条竖线上；由于完整目标过于艰难，数学界长期退而求其次，希望至少证明某条竖线右侧不存在零点。OpenAI 声称把这条线推进到 7/8 的位置，而且对 zeta 函数和所有狄利克雷 L 函数同时成立，并附上了 Lean 形式化。
与黎曼猜想同列千禧年大奖难题的 BSD 猜想也出现在清单中。文章称，OpenAI 的第 002 号和第 006 号成果族合在一起，声称对每一条有理椭圆曲线，在其「几乎所有」二次扭曲上证明了完整的 BSD 公式；其中第 006 号还顺带证明了 Dorian Goldfeld 于 1979 年提出的 Goldfeld 猜想。这两项都没有形式化。
第 004 号对应希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题中的第十个问题。1970 年，Yuri Matiyasevich 已经证明，对整系数多项式方程是否存在整数解，不存在通用算法可以判定；但把「整数解」换成「有理数解」后，这个版本悬置了半个多世纪。OpenAI 声称，这一版本的答案同样是否定的，且没有形式化。
文章还点出两项题面相对直观的结果。其一是卡塔兰常数，即 1 减 1/9 加 1/25 减 1/49 这样交替求和得到的常数，OpenAI 声称它是无理数。其二是 π 的无理性测度：此前数学家能证明的上界约为 7.1，OpenAI 声称最优值恰好是 2，并称这还顺带解决了 Flint Hills 级数是否收敛的问题。这两项都附有 Lean 形式化。
代数几何：霍奇猜想特殊情形、有理性问题与量子几何朗兰兹
代数与复几何方向共有 36 个成果族，在整份清单中排第三。文章认为，其中最醒目的是第 032 号：对所有复 CM 阿贝尔簇证明有理霍奇猜想。霍奇猜想本身是千禧年大奖难题之一，而 OpenAI 还称，借助 James Milne 之前的定理，这一结果还能推出有限域上所有阿贝尔簇的 Tate 猜想。仓库 README 特别注明，这一项没有走模型的标准流程，目前也没有形式化。
第 054 号则涉及三次四维簇能否被有理参数化这一著名难题。Alexander Kuznetsov 曾提出一个用范畴语言判断的猜想，OpenAI 声称构造出了满足该判据、却依然不能有理参数化的例子，从而推翻这一猜想。
更抽象的方向上，第 069 号是量子几何朗兰兹对应。文章提到，2024 年 Dennis Gaitsgory 等人以近千页系列论文证明了几何朗兰兹猜想，而 OpenAI 声称把其量子版本在无理参数下也做了出来。
第 008 号则声称解决了关于 Grothendieck–Teichmüller 李代数结构的 Deligne–Drinfeld 猜想，并附有 Lean 形式化。
分析与几何：挂谷、马勒与 Koebe 圆域猜想
几何与分析方向同样聚集了多道老问题。第 074 号是挂谷问题。文章回顾，这一问题起源于 1917 年日本数学家挂谷宗一提出的平面「转针」问题，高维版本后来演变成调和分析的核心难题之一。今年 7 月，王虹凭借与 Joshua Zahl 合作证明三维挂谷集合猜想获得菲尔兹奖；OpenAI 则声称在此基础上更进一步，证明了三维的更强版本和四维的维数猜想。这一项没有形式化，文中将其列为最需要专家尽快审读的结果之一。
第 087 号是马勒猜想。该猜想由 Kurt Mahler 在 1939 年提出，讨论一个凸体与其对偶体体积乘积的最小值。文章称，直到 2020 年，日本数学家才解决三维对称情形；而 OpenAI 现在声称在所有维数上同时解决了对称与非对称两个版本，并刻画了所有取到最小值的情形，附有 Lean 形式化。
第 071 号回到更早的 1908 年。Paul Koebe 猜想，平面上任何区域都可以通过保角变换变成边界全是圆或点的圆域。OpenAI 声称解决了这一猜想的存在性部分，并附有 Lean 形式化。
文章还提到几何方向另外两项结果：第 345 号声称任意黎曼度量下的高维球面都有无穷多条闭测地线，第 344 号声称解决度量版 Blaschke 猜想，这两项目前都没有形式化。
理论计算机：唯一游戏猜想与图着色难题
理论计算机科学是整个仓库里成果族最多的方向，共有 40 个。文章认为，分量最重的是第 102 号唯一游戏猜想。
这一猜想由 Subhash Khot 在 2002 年提出，Khot 也因此获得 2014 年奈望林纳奖。它的重要性在于，一旦猜想成立，大量经典优化问题的最优近似门槛都能被确定下来，包括 Max-Cut 等问题。文章提到，2018 年 Khot 与合作者证明了较弱的「2 对 2」版本，但完整猜想一直未决。OpenAI 现在声称给出了完整证明，并直接推出 Max-Cut、顶点覆盖等问题的最优近似门槛，主结果附有 Lean 形式化。
同一方向的第 106 号也被单独点出：对于一张已知可以用三种颜色着色的图，用任何固定数量的颜色去给它着色都是 NP 困难的。文章称，这道题看起来简单，却困扰理论计算机科学界数十年，同样附有 Lean 形式化。
组合与图论：Hadwiger 猜想反例与平面染色数下界
组合数学共有 37 个成果族。文章称，其中最出人意料的一项是第 157 号：推翻 Hadwiger 猜想。
Hadwiger 猜想由 Hugo Hadwiger 在 1943 年提出，被长期视为图论中最重要的开放问题之一，也是四色定理的推广。此前它只在小规模情形下被证明成立。OpenAI 声称构造出了任意大的反例，而且在比原猜想更弱的「分数着色」版本下就已经不成立，并附有 Lean 形式化。文章指出，如果这一结果经得起检验，其冲击力可能不亚于任何一项正面证明。
第 158 号同样与着色有关：平面不能只用 5 种颜色完成「距离为 1 的两点不同色」的染色，也就是平面染色数问题。几十年来，答案一直被夹在 4 到 7 之间。2018 年，Aubrey de Grey 借助计算机把下界提到 5；OpenAI 声称进一步提到 6，于是只剩 6 和 7 两种可能，附有 Lean 形式化。
第 159 号则对应埃尔德什最著名的猜想之一：如果一组正整数的倒数和发散，那么其中一定包含任意长的等差数列。文章回顾，2004 年 Ben Green 与陶哲轩证明了素数中存在任意长等差数列，这是该猜想的一个特例；埃尔德什生前曾为其悬赏 5000 美元。OpenAI 声称证明了猜想本身，并附有 Lean 形式化。
此外，第 179 号还声称解决了 Herbert Ryser 在 1963 年提出的循环 Hadamard 矩阵猜想。
代数与算子代数：多项经典猜想被声称推翻
在代数和算子代数方向，文章特别强调「反例」密集出现。Irving Kaplansky 在上世纪中叶提出了一组关于群代数的猜想，其中单位猜想已在 2021 年被 Giles Gardam 用计算机辅助搜索出的反例推翻。
这一次，OpenAI 在第 196 号中声称推翻了同组里的零因子猜想，在第 197 号中推翻了直接有限性猜想，两项都附有 Lean 形式化；第 294 号还推翻了 Kaplansky 关于 C* 代数中拟迹的另一个猜想。
第 285 号被文章列为更重的一项：OpenAI 声称给出了无系数版 Baum–Connes 猜想的反例，并同时推翻 Kadison–Kaplansky 猜想。Baum–Connes 猜想自 1982 年提出以来，一直是连接几何、拓扑与算子代数的枢纽性猜想，而此前已知反例都需要额外条件。这一项目前没有形式化。
同一方向唯一被文章称为「正面」的重磅结果是第 287 号。OpenAI 声称解决了自由群因子同构问题，也就是不同数量生成元的自由群所对应的冯·诺依曼代数是否同构，给出的答案是「全部同构」，并附有 Lean 形式化。
数学物理与流体：Haldane 猜想、BKT 相变与 Navier-Stokes 通用计算
数学物理与概率统计力学两个方向合计 54 个成果族。文章称，这里很多结论是物理学家长期相信、但缺少严格证明的命题。
第 268 号声称证明了 Haldane 猜想，即自旋为 1 的反铁磁海森堡链存在能隙。这一预言由 Duncan Haldane 在 1983 年提出，也是他获得 2016 年诺贝尔物理学奖的工作之一。
第 271 号则声称严格证明了 Felix Bloch 在 1930 年提出的铁磁体低温磁化 T 的 3/2 次方定律，并给出精确系数。
第 216 号关注 BKT 相变，这同样是 2016 年诺贝尔物理学奖的主题；第 221 号的 Mézard–Parisi 公式，则与 2021 年诺贝尔物理学奖得主 Giorgio Parisi 的自旋玻璃理论有关。
第 215 号声称构造了二维 O(3) 模型的连续极限，并证明其存在正的质量间隙，附有 Lean 形式化。文章指出，这个模型常被视为杨-米尔斯理论的「玩具版」，而后者的质量间隙问题本身就是千禧年大奖难题之一。
流体方向也被单独提及。除 9 月已经公布的 Navier-Stokes 奇点结果外，仓库第 376 号声称构造出一种在外力驱动下能够执行任意图灵机程序的 Navier-Stokes 流体，也就是「用流体做通用计算」，并附有 Lean 形式化。文章提到，陶哲轩曾在 2016 年设想，用流体搭建「计算机」或许是理解 Navier-Stokes 方程奇点的一条路径。
第 362 号则声称证明了三维相对论 Vlasov–Maxwell 方程组在大初值下的整体光滑解，同样附有 Lean 形式化。
清单已公开，真正的检验才刚开始
文章最后的判断并不激进。作者称，把整份清单从头翻到尾，最直观的感受是「密度」——一个研究生在单一子领域里能叫出名字的经典问题往往只有一两个，而这份仓库在每个方向都排出了好几个，很多问题的年龄甚至比提出它们的数学家还长。
但文中也提醒，密度恰恰是最需要冷静对待的地方。社交媒体上最热的几项，包括四维挂谷、霍奇猜想的 CM 情形、有理数域上的希尔伯特第十问题、Baum–Connes 反例，都还没有 Lean 形式化。即便已经形式化的结果，形式化证明是否忠实对应原始猜想表述，也仍需专家逐一确认。按照数学界惯例，单是其中任何一项被学界真正接纳，都可能需要数月乃至数年。
文中援引 OpenAI CEO Sam Altman 引述的一句诗作为收束：「沧海辽阔，而我的船如此渺小。」清单已经公开，接下来真正的问题是，这 722 篇手稿里究竟有多少能经受住检验，以及数学家们需要多久才能把它们读完。
本文来自微信公众号「机器之心」（ID：almosthuman2014），作者为「关注AI的机器之心」，编辑为 Panda。