困扰数学界超过 100 年的 Carathéodory 猜想，出现了一个正式公开的反例。按照文中说法，Anthropic 与哈佛数学家 Levent Alpöge 联合 Claude，直接证伪了这项猜想，并一并击碎了 Loewner 指数猜想。
一份相关 PDF 此前已在数学圈流传了一周，现在已正式公开。
百年猜想涉及什么
文中介绍，Carathéodory 猜想最早可追溯到 1924 年。德国数学家 Hans Ludwig Hamburger 在微分几何中提出这一猜想，并以希腊数学家、其博士生导师 Constantin Carathéodory 的名字命名。
该猜想认为，在三维欧几里得空间中，任何凸的、闭合的且足够光滑的曲面，至少存在两个脐点。
脐点可以理解为曲面上各个方向弯曲程度完全一样的点。在三维曲面的微分几何里，这类点的所有方向法曲率都相等，因此两个主曲率相等，每个切向量都是主方向。文中举例称，球面上的每个点都是脐点；椭球则有 2 个脐点。
按这一猜想的表述，不论如何对一个凸面进行变形，只要它足够光滑，就不可能只剩下 1 个脐点，至少要保留 2 个。
与之平行的是 Loewner 猜想。文中称，该猜想认为孤立脐点的指数不超过 1。两项猜想在过去一个多世纪里一直相互支撑。
一个反例同时推翻两项猜想
文中称，这次关键发现是：当凸面足够光滑，也就是数学上所说的 C∞、无限次可微时，Levent Alpöge 找到了一个只有 1 个脐点的凸面。
Alpöge 和 John-Paul Smith 给出了一组非常具体的构造。他们定义了一族函数 g_k，其中 k=2 时的 g₂ 作为球面的支持函数，对应的凸体会在原点产生一个指数为 2 的脐点。
这一点首先直接违反了 Loewner 猜想，因为文中给出的上限是 1，而该脐点的指数为 2。
同时，由于指数衰减项的存在，g₂ 在数学上保证了 C∞ 光滑。这意味着，该凸体满足 Carathéodory 猜想对于光滑性的要求，但它只有 1 个脐点。
按文中的归纳，Carathéodory 猜想要求至少 2 个脐点，反例只给出 1 个；Loewner 指数猜想要求脐点指数不超过 1，这次得到的是 2。因此，两项猜想被同一个显式、可验证的反例同时证伪。
Alpöge 与 Claude 的连续合作
这并不是 Alpöge 第一次与 Claude 合作。文中提到，今年世界杯期间，他曾借助 Claude 提出 3 维雅可比猜想的反例，并在当时引发数学界关注。
文中还回顾了过去几个月与 AI 数学研究相关的几项进展：
- Claude 在黎曼猜想相关问题上，将零点比例下限从 41.6% 提高到 67.2%，而文中称 37 年人类推进幅度为 0.8%。
- OpenAI 集中发布 10 项数学和理论计算机科学进展。
- Alpöge 连续使用 Claude 证伪多个经典猜想。
- 一位新晋菲尔兹奖得主宣布加入 OpenAI。
公开参考信息
文中列出的参考资料包括 Haider 和 Alpöge 在 X 上发布的内容，以及 Carathéodory conjecture 的维基百科页面。
- https://x.com/haider1/status/2090034966717677902
- https://x.com/alpoge/status/2089971359921156203
- https://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory_conjecture
本文来自微信公众号「新智元」，作者为「ASI 启示录」。