Anthropic 披露，尚未发布的 Claude 研究版本在一次针对黎曼猜想的尝试中，虽然没有给出这一 167 年数学难题的最终证明，却把一个相关结果推进了一大步：将黎曼 ζ 函数中已知至少位于临界线上的零点比例下界，从 41.6% 提高到了 67.2%。
这一结果并不等于黎曼猜想被证明。Anthropic 明确表示，这套方法预计无法直接导向黎曼猜想的最终证明，也没有声称 Claude 距离完整证明只差 32.8%。
Claude 挑战黎曼猜想，结果出现在“失败”过程中
据披露，这次实验最初由 Bun 联合创始人 Jarred Sumner 发起。他于去年 12 月加入 Anthropic，随后给尚未发布的 Claude 研究版本布置了一个非常开放的任务：认真尝试一下黎曼猜想。
Claude 确实尝试了。第一轮中，它提出并测试了大约 650 个思路，全部没有成功。随后进入第二轮，持续约一天半。Claude 重新组织了约 60 个子 Agent，把问题拆成多个方向并行推进。这些 Agent 一共执行了约 2400 次 Shell 命令，编写数百个 Python 脚本，并针对已知的 ζ 函数零点做了数千次数值检查。
最终，黎曼猜想本身仍未被攻克，但 Claude 在这一过程中得到了一项新的下界结果。
从 41.6% 提高到 67.2%
Anthropic 给出的表述是，Claude 将黎曼 ζ 函数中已知至少位于临界线上的零点比例下界，由 41.6% 提高到了 67.2%。
换句话说，在此之前，人类能够严格证明至少 41.6% 的相关零点处在黎曼猜想所预测的位置；Claude 给出的结果，把这个可证明的比例推进到了 67.2%。两者相比，提高了 25.6 个百分点。
Menlo Ventures 合伙人、研究者 Deedy 表示：「Claude 这次的结果简直离谱，可能是自 2013 年有界素数间隔突破以来，解析数论领域最重大的进展。它把能够严格证明位于临界线上的黎曼 ζ 函数零点比例，一口气提高了 25.6 个百分点。而在此前 37 年里，数学家们总共只把这个数字提高了 0.8 个百分点。」
Anthropic 同时强调，67.2% 只是相关问题上的下界改进，与完整证明黎曼猜想之间仍然存在巨大的理论距离。
黎曼猜想为何重要
黎曼猜想与素数分布密切相关。1859 年，德国数学家伯恩哈德・黎曼提出猜想：ζ 函数所有「非平凡零点」的实部都应等于 1/2。
放在复平面上看，这意味着这些零点都落在一条垂直线上，也就是临界线。大量关于素数分布的结论，在假设黎曼猜想成立时可以得到更精确的结果，因此它被列入克雷数学研究所七大「千禧年难题」之一，完整证明或推翻都可获得 100 万美元奖金。
过去一个多世纪里，数学家一直无法证明所有非平凡零点都落在临界线上，但可以证明其中一定有一部分位于那里。于是，一个更现实的问题逐渐成形：至少能证明多大比例的零点位于临界线？经过数十年推进，这个已知下界被提高到约 41.6%，而 Claude 这次推进的正是这一数字。
Claude 的方法建立在既有数论工作之上
Anthropic 表示，Claude 得到这一结果并非凭空完成。1973 年，数学家 Hugh Montgomery 在研究 ζ 函数零点分布时引入了一系列重要方法，但其中部分分析依赖黎曼猜想成立这一前提。近年来，数学家们继续发展相关技术，使其中一些方法可以在不预先假设黎曼猜想成立的情况下使用。
在这些工作的基础上，Claude 又结合了 Enrico Bombieri 在 2000 年前后发表的相关研究，找到了新的组合方式，最后推出至少 67.2% 的相关零点位于临界线上的结果。
从技术描述看，Claude 构造了一个合适的函数空间，并利用 Weil 诱导出的二次型，将位于临界线上的零点和偏离临界线的零点分别对应到正定与负定方向。接着，它利用二次型的秩与一阶、二阶矩信息之间的关系建立不等式。
Anthropic 的数学家认为，其中一个关键点在于，Claude 没有分别处理正定和负定部分，而是把整个空间放在同一框架下分析，同时允许二次型具有非对角结构。结合此前数论研究者已经建立的结果，这一步最终导出了 67.2% 的下界。
两轮会话、约 3100 万输出 Token、约 60 个子 Agent
这次实验的另一个焦点，是 Claude 寻找结果的过程。整个结果出现在两轮 Claude Code 会话中，总计消耗约 3100 万输出 Token。
第一轮里，Claude 独立生成并尝试了约 650 个想法，全部失败。Sumner 随后让它继续。第二轮持续约一天半，Claude 组织约 60 个子 Agent 并行探索不同方向。不同子 Agent 之间还会互相审阅结果。
按照 Anthropic 的说法，Sumner 在这一阶段几乎没有提供数学上的指导，他主要做的是持续告诉 Claude「继续」「再试试」「相信自己」。Anthropic 还提到，Claude 一开始对自己能否在这样一个著名开放问题上取得真正进展相当怀疑，直到持续探索后，这个新下界才逐渐出现。
在得到结果后，Claude 又启动了一轮自我验证：一部分子 Agent 负责检查证明，另一部分寻找反例；它还下载了 54 篇 arXiv 论文，检查类似结果是否已经被其他数学家得到。随后，Claude 让独立 Agent 从头重新推导一遍结论，确认没有明显问题后，主动建议将结果整理成论文，并明确提出应由真正的数论专家进行人工验证。
验证状态：内部研究验证完成，并有形式化证明与外部审阅
Anthropic 内部数学家 Levent Alpöge 和 Ralph Furman 随后开始检查论文，并分析其与既有文献之间的关系。与此同时，Claude 还与 Anthropic 员工 Eric Easley 合作，把关键结果形式化为 Lean 证明。这份形式化结果已经通过 Lean 标准验证工具 Comparator 的检查。
Anthropic 还邀请了研究黎曼 ζ 函数的数学家 Brian Conrey 和 Dan Goldston 审阅论文。
按目前披露的信息，更准确的说法是：Anthropic 内部数学家已经对这一结果进行了研究和验证，机器可检查的形式化证明也已经完成，同时两位外部领域专家对论文进行了审阅；但这与完成传统学术同行评议、形成数学界共识，仍然属于不同阶段。
Anthropic 给出的信号
Anthropic 认为，这次结果提供了一个值得关注的信号：前沿模型的数学能力，正在开始触及真正没有现成答案的研究问题。
相关论文与项目地址已经公开。论文链接为 https://www-cdn.anthropic.com/564f962e60643842f5fcb4a17c9dbc8f608f1c37.pdf，项目地址为 https://github.com/anthropics/zeta-23-lean 。参考链接包括 Anthropic 官方 X 账号、Anthropic 研究页面以及 Jarred Sumner 的 X 帖文。